Calculadora de Fatorial

Calculadora de Fatorial - Calcule n! com passos

🔢 Calcule o fatorial (n!) de qualquer número de 0 a 170. Veja o passo a passo, permutações, combinações e aplicações no mundo real.

O que é um fatorial?

O fatorial de um inteiro não negativo n, denotado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Ele representa o número de formas de organizar n objetos distintos.

Fórmula do fatorial

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (por definição)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (definição recursiva)

Exemplos de fatorial

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800
• 0! = 1 (caso especial)
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000

Por que 0! = 1?

Existe exatamente uma forma de organizar zero objetos: o arranjo vazio. Essa definição garante que as fórmulas matemáticas (especialmente na combinatória) funcionem corretamente. Também é consistente com a fórmula recursiva: n! = n × (n-1)!, então 1! = 1 × 0! implica que 0! deve ser 1.

Permutações

P(n,r) = n!/(n-r)!

Número de maneiras de organizar r objetos a partir de n objetos distintos, onde a ordem importa.

• Exemplo: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Uso: posições no pódio de uma corrida (1º, 2º, 3º)

Combinações

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Número de maneiras de escolher r objetos dentre n objetos distintos, onde a ordem não importa.

• Exemplo: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Uso: números de loteria, seleção de comitês

Zeros à direita em n!

Zeros à direita são criados por fatores de 10 = 2 × 5. Como há mais fatores 2 do que 5, basta contar os fatores 5:

Zeros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! tem 2 zeros à direita
• 25! tem 6 zeros à direita
• 100! tem 24 zeros à direita

Aplicações no mundo real

• Criptografia: número de chaves possíveis
• Agendamento: maneiras de organizar compromissos, tarefas e eventos
• Genética: sequências possíveis de DNA/proteínas
• Probabilidade: cálculo de chances em jogos e loterias
• Ciência da computação: análise de complexidade de algoritmos
• Manufatura: arranjos de linha de produção
• Logística: problemas de otimização de rotas

Valores famosos de fatorial

• 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷ (embaralhamento de cartas)
• 70! ≈ 1,2 × 10¹⁰⁰ (excede átomos no universo ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9,3 × 10¹⁵⁷ (158 dígitos!)
• 170! ≈ 7,3 × 10³⁰⁶ (máximo do JavaScript)

Aproximação de Stirling

Para n grande, calcular fatoriais exatos é impraticável. A aproximação de Stirling fornece:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Essa aproximação fica mais precisa conforme n aumenta. Para n = 10, o erro é < 1%.

Taxa de crescimento do fatorial

O fatorial cresce muito mais rápido do que funções exponenciais ou polinomiais:

• Polinomial: n² = 100 para n=10
• Exponencial: 2ⁿ = 1.024 para n=10
• Fatorial: n! = 3.628.800 para n=10

Fatorial duplo

O fatorial duplo (n!!) multiplica números alternados:

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 ou 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Subfatorial (desarranjos)

O subfatorial !n conta permutações em que nenhum elemento fica na posição original:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Exemplo: !3 = 2 (arranjos de ABC sem letras na posição original: BCA, CAB)

Implementação em programação

Abordagem iterativa:

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Abordagem recursiva:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Dica: Ao calcular permutações ou combinações, cancele fatores comuns antes de computar, para evitar overflow. Para C(100,2) = 100!/(2!×98!), calcule (100×99)/2 = 4.950 em vez de calcular os fatoriais enormes separadamente!